قياس درجة الحرارة من PT100 باستخدام Arduino: 6 خطوات (بالصور)

2024 مؤلف: John Day | [email protected]. آخر تعديل: 2024-02-02 14:32

PT100 عبارة عن كاشف درجة حرارة مقاومة (RTD) يغير مقاومته اعتمادًا على درجة الحرارة المحيطة به ، ويستخدم على نطاق واسع للعمليات الصناعية ذات الديناميكيات البطيئة ونطاقات درجات الحرارة الواسعة نسبيًا. يتم استخدامه للعمليات الديناميكية البطيئة لأن RTDs لها أوقات استجابة بطيئة (والتي أتحدث عنها أكثر لاحقًا) ولكنها دقيقة ولديها انجراف منخفض بمرور الوقت. ما سأعرضه لكم في Instructable هذا لن يكون على مستوى المعايير الصناعية ولكنه سيعرضك لطريقة بديلة لقياس درجة الحرارة من استخدام LM35 الذي يعرفه الكثير من الهواة وتظهر نظرية الدائرة يمكن تطبيقها على أجهزة استشعار أخرى.

الخطوة 1: المكونات

1x PT100 (سلكان)

1x اردوينو (أي نموذج)

مكبرات صوت للعملية 3 × 741 (LM741 أو UA741)

1x 80 أوم المقاوم

2x 3.9 كيلو أوم المقاومات

2x 3.3 كيلو أوم مقاومات

2x 8.2 كيلو أوم مقاومات

2x 47 كيلو أوم مقاومات

1x 5 كيلو أوم

عدد 1 من مصدر طاقة طرفي أو بطاريات AA 8x 1.5 فولت

أنا أستخدم سلكين PT100 ، ثلاثة وأربعة أسلاك PT100 سيكون لها دوائر مختلفة. لا يجب أن تكون قيم المقاوم لمعظم هذه القيم هي نفسها تمامًا كما هو مذكور أعلاه ، ولكن إذا كان هناك زوج من المقاومات ، أي 3.9 كيلو أوم ، إذا قمت بتبديلها لنفترض 5 كيلو ، فستحتاج إلى تبديل كلاهما مقابل 5 كيلو كما في ذلك الوقت يجب أن تكون هي نفسها. عندما نحصل على الدائرة سأقول تأثير اختيار القيم المختلفة. بالنسبة لمضخمات التشغيل (op amps) ، يمكنك استخدام مكبرات صوت أخرى ولكن هذه هي التي استخدمتها.

الخطوة 2: جسر ويتستون

أحتاج أولاً إلى الحديث عن صيغة الحصول على درجة الحرارة من مقاومة PT100 قبل أن أتحدث عن الجزء الأول من الدائرة ، تكون صيغة المقاومة كما يلي:

حيث Rx هي مقاومة PT100 ، R0 هي مقاومة PT100 عند 0 درجة مئوية ، α هي معامل مقاومة درجة الحرارة و T هي درجة الحرارة.

R0 يساوي 100 أوم لأن هذا PT100 ، إذا كان PT1000 ، سيكون R0 1000 أوم. α هي 0.00385 أوم / درجة مئوية مأخوذة من ورقة البيانات. هناك أيضًا معادلة أكثر دقة يمكن العثور عليها هنا ولكن الصيغة أعلاه ستفعل لهذا المشروع. إذا قمنا بتغيير الصيغة يمكننا حساب درجة الحرارة لمقاومة معينة:

لنفترض أننا نريد قياس شيء يتراوح نطاق درجة الحرارة فيه من -51.85 إلى 130 درجة مئوية ووضعنا PT100 في الدائرة الموضحة في الصورة 1. باستخدام المعادلة أعلاه ومعادلة الجهد خارج مقسم الجهد (كما هو موضح) في الصورة الأولى) يمكننا حساب مدى الجهد. أسفل النطاق T = -51.85 (80 أوم)

وعند 130 درجة (150 أوم):

سيعطي هذا مدى 0.1187 فولت وإزاحة للتيار المستمر 0.142 لأننا نعلم أن درجة حرارتنا لن تقل أبدًا عن -51.85 درجة مئوية ، وهذا سيقلل من الحساسية في النطاق الذي نهتم به (80 إلى 130 أوم) عندما نقوم بتضخيم هذا الجهد. للتخلص من تعويض التيار المستمر وزيادة حساسيتنا ، يمكننا استخدام جسر ويتستون الذي يظهر في الصورة الثانية.

سيتم طرح ناتج مقسم الجهد الثاني (Vb-) من خرج مقسم الجهد الأول (Vb +) باستخدام مكبر تفاضلي لاحقًا. صيغة خرج الجسر عبارة عن مقسمين للجهد:

الجهد الخارج لـ PT100 هو 80 أوم وباستخدام القيم الأخرى في الصورة:

ولأن Pt100 هي 150 أوم:

باستخدام Wheatstone نتخلص من تعويض DC ونزيد الحساسية بعد التضخيم. الآن بعد أن عرفنا كيف يعمل جسر ويتستون ، يمكننا التحدث عن سبب استخدامنا 80 أوم و 3.3 كيلو أوم. تم شرح 80 أوم نوعًا ما من الصيغة أعلاه ، اختر هذه القيمة (سنسميها مقاومة الإزاحة Roff) لتكون النطاق السفلي لدرجة الحرارة أو أفضل ، أقل قليلاً من أسفل النطاق الخاص بك ، إذا تم استخدام هذا من أجل أنظمة تحكم لتنظيم درجة الحرارة أو شيء من هذا القبيل ، فأنت تريد معرفة مدى انخفاض درجة الحرارة عن نطاق درجة الحرارة لديك. لذلك إذا كانت -51.85C هي أسفل النطاق الخاص بك ، فاستخدم 74.975 أوم (-65 درجة مئوية) لـ Roff الخاص بك.

اخترت 3.3k لـ R1 و R3 لسببين ، للحد من التيار وزيادة خطية الإخراج. نظرًا لأن PT100 يغير المقاومة بسبب درجة الحرارة ، فإن تمرير الكثير من التيار عبره سيعطي قراءات غير صحيحة بسبب التسخين الذاتي ، لذلك اخترت الحد الأقصى للتيار من 5-10mA. عندما يكون PT100 80 أوم ، يكون التيار 1.775 مللي أمبير ، لذا بأمان أقل من النطاق الأقصى. أنت تقلل المقاومة لزيادة الحساسية ولكن هذا قد يكون له تأثير سلبي على الخطية ، حيث سنستخدم معادلة خط لاحقًا (y = mx + c) وجود ناتج غير خطي سيؤدي إلى حدوث أخطاء. تحتوي الصورة الثالثة على رسم بياني لمخرج الجسر باستخدام مقاومات علوية مختلفة ، والخط الصلب هو الناتج الفعلي والخط المنقط هو التقريب الخطي. يمكنك أن ترى في الرسم البياني باللون الأزرق الداكن (R1 & R3 = 200 أوم) يعطي أكبر نطاق للجهد ولكن الناتج هو الأقل خطيًا. يعطي اللون الأزرق الفاتح (R1 & R3 = 3.3 khms) أصغر نطاق للجهد ولكن الخط المنقط والخط الصلب متداخلين مما يدل على أن خطيته جيدة جدًا.

لا تتردد في تغيير هذه القيم لتناسب تطبيقك ، وأيضًا إذا قمت بتغيير الجهد ، فتأكد من أن التيار لا يرتفع كثيرًا.

الخطوة الثالثة: التضخيم

في الخطوة الأخيرة ، وجدنا أن نطاق إخراج مقسّمي الجهد المطروحين كان من 0 إلى 0.1187 لكننا لم نتحدث عن كيفية طرح هذه الفولتية. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى مضخم تفاضلي يقوم بطرح أحد المدخلات من الآخر وتضخيمه عن طريق كسب الأمبير. تظهر دائرة الأمبير التفاضلي في الصورة الأولى. تقوم بإدخال Vb + في الإدخال المقلوب و Vb- في الإدخال غير المقلوب وسيكون الناتج هو Vb + - Vb- مع كسب واحد أي لا يوجد تضخيم ولكن بإضافة المقاومات الموضحة في الصورة نضيف ربحًا قدره 5.731. يتم تحقيق المكسب من خلال:

Ra هو R5 و R7 و Rb هو R6 و R8 ، يتم إعطاء الجهد الخارج بواسطة:

هناك مشكلتان تتعلقان فقط بتوصيل هذا الأمبير بإخراج الجسر ، وتأثير التحميل وتغيير الكسب. يتطلب تغيير مكاسب الأمبير تغيير مقاومتين على الأقل لأن زوجي المقاومات يجب أن يكونا متماثلين ، لذا فإن وجود وعاءين يجب أن يكون لهما نفس القيمة سيكون أمرًا مزعجًا ، لذلك سنستخدم شيئًا يسمى مضخم الأجهزة الذي أتحدث عنه أدناه. تأثير التحميل هو مقاومات الإدخال في الأمبير التي تؤثر على انخفاض الجهد عبر PT100 ، ونريد أن يكون الجهد عبر PT100 دون تغيير ، وللقيام بذلك يمكننا اختيار مقاومات كبيرة جدًا لمقاومات الإدخال بحيث تكون المقاومة المتوازية لـ PT100 ومقاومة الإدخال قريبة جدًا من مقاومة PT100 ولكن هذا يمكن أن يسبب مشاكل في إزاحة الضوضاء والجهد الناتج عن عدم الخوض فيها. ما عليك سوى اختيار النطاق المتوسط في نطاق Kohms ولكن كما قلت ، فإن وجود مقاومات صغيرة أمر سيء أيضًا ، لذا سنقوم بتغيير الدائرة قليلاً.

في الصورة الثانية ، لدينا خرج الجسر المتصل بمضخم أجهزة يعمل كمضخم صوتي لفصل نصفي الدوائر (الجسر والتضخيم) كما يسمح باستخدامه لتضخيم المدخلات عن طريق تغيير مقياس جهد واحد فقط (Rgain). يتم الحصول على مكاسب أمبير الأجهزة من خلال:

حيث Rc هما المقاومان 3.9 كيلو فوق وتحت القدر.

عن طريق تقليل Rgain ، يزداد التضخيم. ثم عند النقطة Va و Vb (تضخيم Vb + و Vb-) ، يكون مجرد أمبير تفاضلي كما كان من قبل والمكاسب الإجمالية للدائرة هي مجرد مكاسب مضروبة معًا.

لاختيار مكاسبك ، تريد أن تفعل شيئًا كما فعلنا من قبل مع Roff ، يجب أن نختار مقاومة أعلى بقليل من درجة الحرارة القصوى في النطاق الخاص بك في حالة تجاوزها. نظرًا لأننا نستخدم Arduino الذي يحتوي على 5V adc ، يجب أن يكون الحد الأقصى لإخراج الدائرة 5 فولت عند درجة الحرارة القصوى التي اخترتها. دعنا نختار 150 أوم كمقاومة قصوى وكان جهد الجسر غير المضخم 0.1187 فولت ، والكسب الذي نحتاجه هو 42.185 (5 / 0.1187)

لنفترض أننا نحتفظ بـ Ra و Rb و Rc كـ 8.2k و 47k و 3.9k ، نحتاج فقط إلى إيجاد قيمة وعاء Rgain:

لذلك للحصول على 5 فولت كاملة من نطاق درجة الحرارة الذي نستخدمه ، قم بتغيير قيمة Rgain إلى 1.226k. يُعطى جهد الخرج الخارج من الأمبير التفاضلي بواسطة:

الخطوة 4: تشغيل الدائرة

هذه هي الخطوة الأخيرة في الدائرة ، ربما تكون قد لاحظت Vcc + و Vcc- على دارات المرجع أمبير ، هذا لأنهم يحتاجون إلى كل من الجهد الموجب والسالب للعمل بشكل صحيح ، يمكنك الحصول على مضخمات تشغيل واحدة للسكك الحديدية ولكني قررت لاستخدام هذه الأمبيرات لأن هذا ما كنت أكذب حوله. لذلك سنزود +6 فولت و -6 فولت ، وهناك ثلاث طرق يمكننا القيام بها. يظهر الأول في الصورة الأولى حيث يتعين علينا إمداد طاقة أو محطتي إخراج من مصدر طاقة واحد ، وكلاهما عند 6 فولت ولدينا خرج إيجابي واحد متصل بالسالب الآخر. سيكون 6V من أعلى العرض هو + 6V لدينا ، والإيجابي من أسفل العرض هو GND وسالب العرض السفلي هو -6V. قم بتوصيله فقط على هذا النحو إذا تم فصل GNDs من التوريدين أو سيؤدي ذلك إلى إتلاف مورد الطاقة الخاص بك. كانت جميع مصادر الطاقة التجارية قد فصلت GNDs ولكن إذا كنت تريد التحقق ، فاستخدم اختبار الاستمرارية على جهاز القياس المتعدد الخاص بك ، إذا كان يصدر صوتًا ، فلا تستخدم هذا الإعداد واستخدم الإعداد التالي. على إمداد منزلي ، فجرت الفتيل أثناء القيام بذلك.

في الصورة الثانية هو الإعداد الثاني الذي يمكننا الحصول عليه ، فهو يتطلب تزويدًا واحدًا بمضاعفة الجهد الآخر ولكن لن يؤدي إلى إتلاف الإمداد إذا تم توصيل GNDs. لدينا إمدادان ، أحدهما بجهد 12 فولت والآخر بجهد 6 فولت. سيعمل 12V على أنه + 6V الخاص بنا ، وسيعمل 6V من العرض الثاني مثل GND وسيعمل GNDs الفعليان الخارجان من المستلزمات كـ -6V.

هذا الإعداد الأخير مخصص لمصادر الطاقة بإخراج واحد فقط ، ويستخدم مضخمًا مؤقتًا للكسب 1 لإنشاء أرضية افتراضية عن طريق تمرير نصف جهد الإمداد عبر مضخم الصوت العازل. ثم سيعمل 12V على أنه + 6V وستكون محطة GND الفعلية -6V.

إذا كنت ترغب في استخدام البطاريات ، فأنا أقترح الإعداد الأول ، لكن هناك مشكلة في البطاريات هي أن الجهد سينخفض عندما تبدأ في التموت وينخفض أيضًا الجهد الخارج من الجسر ، مما يعطي قراءات خاطئة لدرجة الحرارة. يمكنك بالطبع قراءة الجهد من البطاريات وإدراجها في الحسابات أو استخدام المنظمين والمزيد من البطاريات. في النهاية ، الأمر متروك لك.

الخطوة 5: الدائرة الكاملة والرمز

تظهر الدائرة الكاملة أعلاه وقد تم إجراؤها في Autodesk's Circuits.io الجديدة والتي تتيح لك إنشاء دوائر على لوح التجارب وتحرير مخطط الدائرة (كما هو موضح في الصورة 2) ومخططات PCB وأفضل جزء ، يتيح لك محاكاة الدائرة من اللوح و يمكنك حتى برمجة Arduino وتوصيله في وضع اللوح ، وفي أسفل الصفحة توجد المحاكاة ويمكنك اللعب بوعائين. إذا كنت تريد تكرار الدائرة ووضع القيم الخاصة بك ، يمكنك العثور على الدائرة هنا. القدر الأول 70 أوم ومتسلسل بمقاوم 80 أوم يحاكي PT100 بمدى 80-150 أوم ، القدر الثاني هو كسب مضخم الأجهزة. للأسف ، استخدمت مكتبة قمت بتنزيلها من أجل الكود الخاص بي ، لذلك لم يتم تضمين Arduino في الدائرة أدناه ولكن هناك سلكان إضافيان فقط تحتاجان إلى توصيلهما. إذا كنت تشعر براحة أكبر مع LTspice ، فقد قمت بتضمين ملف تصاعدي مع الدائرة.

قم بتوصيل دبوس A0 بإخراج المضخم التفاضلي

قم بتوصيل GND الخاص بـ Arduino بـ GND الخاص بالدائرة (وليس THE -6V)

وهذه الدائرة تمت ، الآن على الكود. ذكرت سابقًا أننا سنستخدم الصيغة y = mx + c ، حسنًا الآن سنقوم بحساب m (الميل) و c (الإزاحة). في Arduino ، سنقرأ الجهد ولكن معادلة درجة الحرارة تحتاج منا إلى معرفة مقاومة PT100 لذا فإن الطريقة التي يمكننا بها القيام بذلك هي عن طريق استبدال Serial.println (temp) بـ Serial.println (V) وتسجيل الجهد والمقاومة عند درجتين. عند إجراء هذا الاختبار ، اترك جهاز PT100 بمفرده لبعض الوقت ، مثل دقيقة أو دقيقتين ، وابتعد عن أي مصادر حرارة (ضوء الشمس ، مروحة الكمبيوتر المحمول ، جسمك ، إلخ).

النقطة الأولى التي يمكننا أخذها هي درجة حرارة الغرفة ، عندما تكون الدائرة متصلة وتعمل ، قم بتسجيل الجهد (Vt1) الذي قرأه Arduino على الشاشة التسلسلية وافصل بسرعة PT100 وسجل مقاومته (Rt1) ، لا تضع الخاص بك يديك على المسبار عند فصله حيث سيؤدي ذلك إلى تغيير المقاومة. بالنسبة لدرجة الحرارة الثانية ، يمكننا وضع المسبار في ماء مثلج أو ماء ساخن (كن حذرًا إذا كنت تستخدم الماء الساخن) وكرر ما فعلناه قبل إيجاد Vt2 و Rt2. بعد وضع المسبار في السائل ، انتظر دقيقة أو دقيقتين حتى تستقر المقاومة. إذا كنت مهتمًا بالاستجابة الزمنية لجهاز PT100 ، فقم بتسجيل الجهد من الشاشة التسلسلية كل ثانيتين أو نحو ذلك ، ويمكننا رسم رسم بياني من هذا وسأشرح ذلك لاحقًا. باستخدام جهازي الجهد والمقاومات ، يمكننا حساب المنحدر على النحو التالي:

Rt1 و Rt2 هما المقاومات عند درجتي حرارة ونفس الشيء ينطبق على الفولتية Vt1 و Vt2. من المنحدر وإحدى مجموعتي النقاط اللتين سجلتهما ، يمكننا حساب الإزاحة:

يجب أن يكون C قريبًا من Roff الحقيقي الخاص بك ، من خلال المحاكاة التي أجريتها ، حسبت هذه القيم:

من هذه المقاومة يمكننا إيجاد درجة الحرارة باستخدام الصيغة التي كانت لدينا في البداية:

وهذا كل شيء ، رمز Arduino أدناه ، إذا كان لديك أي مشاكل ، فما عليك سوى ترك تعليق وسأحاول مساعدتك.

لا توجد صور للدائرة التي قمت بإنشائها كما فعلتها منذ فترة ولم يعد لديك PT100 لإعادة تشكيلها واختبارها ولكن عليك فقط أن تصدقني أنها تعمل. لا يوجد الكثير حول PT100 في Instructables التي وجدتها ، ولهذا السبب صنعت هذا التطبيق.

في الخطوة التالية ، سأتحدث عن الاستجابة الزمنية لجهاز PT100 وإذا لم تكن مهتمًا بالرياضيات ، فعند قياس تغير في درجة الحرارة ، دع جهاز PT100 يستقر لمدة دقيقة أو نحو ذلك قبل أخذ القراءة.

إذا كنت مهتمًا برؤية مشاريع أخرى قمت بها ، فتفضل بزيارة

المدونة: Roboroblog

قناة يوتيوب: Roboro

أو انظر إلى Instructables الأخرى الخاصة بي: هنا

إذا كان HTML يعبث بالكود أدناه ، فسيتم إرفاق الكود

* يحسب هذا الرمز درجة الحرارة باستخدام PT100

* بقلم Roboro * Github: <a href = "https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href =" https://github.com/RonanB96/Read-Temp- From-PT100-… <a href = "https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… >>>>>>>>> * Circuit: <a href=" href="https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href=" https://github.com/ronanb96/read-temp-from-pt100-…="">>>>>>>>>> * Blog: <a href=" href="https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href=" https://github.com/ronanb96/read-temp-from-pt100-…="">>>>>>>>>> * Instrustable Post: <a href=" href="https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href=" https://github.com/ronanb96/read-temp-from-pt100-…="">>>>>>>>>> * */ //You'll need to download this timer library from here //https://www.doctormonk.com/search?q=timer #include "Timer.h" // Define Variables float V; float temp; float Rx; // Variables to convert voltage to resistance float C = 79.489; float slope = 14.187; // Variables to convert resistance to temp float R0 = 100.0; float alpha = 0.00385; int Vin = A0; // Vin is Analog Pin A0 Timer t; // Define Timer object

void setup() {

Serial.begin(9600); // Set Baudrate at 9600 pinMode(Vin, INPUT); // Make Vin Input t.every(100, takeReading); // Take Reading Every 100ms } void loop() { t.update(); // Update Timer } void takeReading(){ // Bits to Voltage V = (analogRead(Vin)/1023.0)*5.0; // (bits/2^n-1)*Vmax // Voltage to resistance Rx = V*slope+C; //y=mx+c // Resistance to Temperature temp= (Rx/R0-1.0)/alpha; // from Rx = R0(1+alpha*X) // Uncommect to convet celsius to fehrenheit // temp = temp*1.8+32; Serial.println(temp); }

Step 6: Time Response of PT100

لذلك ذكرت أن استجابة PT100 بطيئة ولكن يمكننا الحصول على صيغة لدرجة الحرارة الحالية يقرأها PT100 في أي وقت. استجابة PT100 هي استجابة من الدرجة الأولى يمكن كتابتها بمصطلحات لابلاس ، أي وظيفة النقل ، على النحو التالي:

حيث tau (τ) هو ثابت الوقت ، K هو كسب النظام و s هو مشغل لابلاس الذي يمكن كتابته كـ jω حيث ω هو التردد.

يخبرك ثابت الوقت بالوقت الذي يستغرقه نظام الترتيب الأول للاستقرار بقيمته الجديدة والقاعدة أو الإبهام هي أن 5 * tau هي المدة التي سيستغرقها الاستقرار في حالة الاستقرار الجديدة. يخبرك الكسب K إلى أي مدى سيتم تضخيم المدخلات. مع PT100 ، يكون الكسب هو مقدار تغير المقاومة مقسومًا على تغير درجة الحرارة ، من اختيار قيمتين عشوائيتين من ورقة البيانات هذه ، حصلت على ربح قدره 0.3856 أوم / درجة مئوية.

قبل أن أقول أنه يمكنك تسجيل الجهد كل ثانيتين بعد وضع المسبار في السائل ، ساخنًا أو باردًا ، من هذا يمكننا حساب ثابت الوقت للنظام. تحتاج أولاً إلى تحديد نقطة البداية ونقطة النهاية ، ونقطة البداية هي الجهد قبل أن تضع المسبار في السائل وتكون نقطة النهاية عند الاستقرار. بعد ذلك ، قم بطرحهم وهذا هو تغيير الجهد في الخطوة ، كان الاختبار الذي أجريته عبارة عن تغيير خطوة وهو تغيير مفاجئ في الإدخال إلى النظام ، والخطوة هي درجة الحرارة. الآن على الرسم البياني الخاص بك انتقل إلى 63.2٪ من تغير الجهد وهذه المرة هي الوقت الثابت.

إذا أدخلت هذه القيمة في دالة النقل ، فسيكون لديك إذن الصيغة التي تصف استجابة التردد للأنظمة ولكن هذا ليس ما نريده الآن ، فنحن نريد درجة الحرارة الفعلية في الوقت t لخطوة في درجة الحرارة لذلك نحن ذاهبون لإجراء تحويل لابلاس معكوس لخطوة في النظام. تكون وظيفة النقل لنظام من الدرجة الأولى مع إدخال خطوة كما يلي:

حيث K هو حجم الخطوة ، أي فرق درجة الحرارة. لنفترض أن المسبار مستقر عند 20 درجة مئوية ، ووضعه في الماء عند 30 درجة مئوية وللمسبار ثابت زمني قدره 8 ثوانٍ ، ودالة النقل وصيغة المجال الزمني هي كما يلي:

تعني δ (t) مجرد نبضة ، أي تعويض DC بمقدار 20 درجة مئوية في هذه الحالة ، يمكنك فقط كتابة 20 في معادلاتك عند حساب ذلك. هذه هي المعادلة القياسية للخطوة في نظام الترتيب الأول:

ما سبق يحسب درجة الحرارة في الوقت t ولكن هذا سيعمل مع الجهد لأنهما متناسبان مع بعضهما البعض ، فأنت تحتاج فقط إلى قيمة البداية والنهاية وثابت الوقت وحجم الخطوة. يعد موقع الويب المسمى Symbolab رائعًا للتحقق مما إذا كانت الرياضيات الخاصة بك صحيحة ، ويمكنه إجراء Laplace والتكامل والتمايز والكثير من الأشياء الأخرى ويمنحك جميع الخطوات على طول الطريق. يمكن العثور هنا على تحويل لابلاس المعكوس أعلاه.