Gaussian and Parabola لدراسة التدفقات المضيئة LED للمصباح التجريبي: 6 خطوات

2024 مؤلف: John Day | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-30 07:36

مرحبًا بكل صانعي ومجتمع Instructable الصاخب.

هذه المرة ، ستجلب لك Merenel Research مشكلة بحثية خالصة وطريقة لحلها بالرياضيات.

واجهت هذه المشكلة بنفسي بينما كنت أحسب تدفقات LED لمصباح RGB LED الذي قمت بإنشائه (والذي سأقوم بتدريس كيفية بنائه). بعد البحث المكثف على الإنترنت ، لم أجد إجابة ، لذلك أنشر الحل هنا.

المشكلة

في كثير من الأحيان في الفيزياء ، يتعين علينا التعامل مع المنحنيات التي لها شكل التوزيع الغاوسي. نعم! إنه منحنى على شكل جرس يستخدم لحساب الاحتمال وقد تم إحضاره إلينا من عالم الرياضيات العظيم جاوس.

يستخدم منحنى غاوس على نطاق واسع في التطبيقات الفيزيائية الواقعية ، خاصةً عندما يتعين علينا التعامل مع الإشعاع المنتشر من مصدر أو المستلم من جهاز استقبال ، على سبيل المثال:

- انبعاث قوة إشارة الراديو (مثل Wi-Fi) ؛

- التدفق الضوئي المنبعث من LED ؛

- قراءة الثنائي الضوئي.

في ورقة بيانات الشركة المصنعة غالبًا ما يتم إعطاؤنا القيمة الفعلية لمساحة Gaussian ، والتي ستكون إجمالي الطاقة المشعة أو التدفق الضوئي في جزء معين من الطيف (مثل LED) ، ولكن يصعب حساب الإشعاع الفعلي ينبعث في ذروة المنحنى أو حتى أكثر صعوبة في معرفة الإشعاع المتداخل لمصدرين قريبين ، على سبيل المثال إذا كنا نضيء بأكثر من مؤشر LED (مثل الأزرق والأخضر).

سأشرح لك في هذه الورقة Instructable كيفية تقريب Gaussian بطريقة منحنى أكثر سهولة في الفهم: القطع المكافئ. سأجيب على السؤال: كم عدد منحنيات Gaussian في القطع المكافئ؟

المفسد → الجواب هو:

منطقة Gaussian هي دائمًا وحدة واحدة.

مساحة القطع المكافئ المقابل لها نفس القاعدة والارتفاع أكبر بمقدار 2.13 مرة من منطقة غاوس النسبية (انظر الصورة للتوضيح الرسومي).

لذا فإن Gaussian يمثل 46.94٪ من القطع المكافئ الخاص به وهذه العلاقة صحيحة دائمًا.

هذان الرقمان مرتبطان بهذه الطريقة 0.46948 = 1 / 2.13 ، هذه هي العلاقة الرياضية الصارمة بين منحنى جاوس والقطع المكافئ والعكس صحيح.

في هذا الدليل ، سأقودك لاكتشاف هذه الخطوة خطوة.

الأداة الوحيدة التي سنحتاجها هي Geogebra.org ، وهي أداة رياضية رائعة على الإنترنت لرسم المخططات.

يمكن العثور على مخطط Geogebra الذي صنعته لمقارنة القطع المكافئ مع Gaussian في هذا الرابط.

هذا التوجيه طويل لأنه يتعلق بالعرض التوضيحي ، ولكن إذا كان عليك حل المشكلة نفسها بسرعة مع التدفقات المضيئة LED ، أو ظاهرة أخرى مع منحنيات Gaussians المتداخلة ، فالرجاء القفز إلى جدول البيانات الذي ستجده مرفقًا في الخطوة 5 من هذا الدليل ، والذي سيجعل حياتك أسهل ويقوم تلقائيًا بإجراء جميع الحسابات نيابة عنك.

آمل أن تعجبك الرياضيات التطبيقية لأن هذه التعليمات تدور حولها.

الخطوة 1: فهم الضوء المنبعث من مصباح LED أحادي اللون

في هذا التحليل ، سأفكر في سلسلة من مصابيح LED الملونة ، كما ترون بوضوح من مخطط الطيف (الصورة الأولى) يبدو توزيع الطاقة الطيفية الخاص بهم مثل Gaussian الذي يتقارب في المحور x عند -33 و + 33 نانومتر من المتوسط (الشركات المصنعة) عادة ما يعطي هذه المواصفات). ومع ذلك ، ضع في اعتبارك أن تمثيل هذا المخطط يعمل على تطبيع جميع الأطياف على وحدة طاقة واحدة ، لكن مصابيح LED لها طاقة مختلفة وفقًا لمدى كفاءة التصنيع ومقدار التيار الكهربائي (مللي أمبير) الذي تغذيها.

كما ترون في بعض الأحيان يتداخل التدفق الضوئي لمصباحين LED على الطيف. لنفترض أنني أريد بسهولة حساب المنطقة المتداخلة لتلك المنحنيات ، لأنه في هذه المنطقة سيكون هناك مقدار مضاعف من الطاقة وأريد معرفة مقدار القوة في درجات اللومن (lm) التي لدينا هناك ، حسنًا هذا ليس كذلك مهمة سهلة سنحاول الإجابة عليها في هذا الدليل. نشأت المشكلة لأنني عندما كنت أقوم ببناء المصباح التجريبي ، أردت حقًا معرفة مدى تداخل الطيفين الأزرق والأخضر.

سنركز فقط على مصابيح LED أحادية اللون التي تنبعث في جزء ضيق من الطيف. في الرسم البياني: ROYAL BLUE ، BLUE ، GREEN ، ORANGE-RED ، RED. (المصباح الفعلي الذي أقوم ببنائه هو RGB)

خلفية فيزيائية

دعنا نرجع للوراء قليلاً ونقوم ببعض الشرح الفيزيائي في البداية.

كل LED له لون ، أو بشكل أكثر علميًا يمكننا القول أن له طول موجي (λ) يحدده ويقاس بالنانومتر (نانومتر) و λ = 1 / f ، حيث f هو تردد تذبذب الفوتون.

لذا فإن ما نسميه RED هو في الأساس مجموعة (كبيرة) من الفوتونات التي تتأرجح عند 630 نانومتر ، هذه الفوتونات تصطدم بالمادة وترتد في أعيننا ، والتي تعمل كمستقبلات ، ثم يقوم دماغك بمعالجة لون الجسم على أنه أحمر ؛ أو يمكن أن تذهب الفوتونات مباشرة إلى عينيك وسترى مؤشر LED الذي ينبعث منها متوهجًا باللون الأحمر.

تم اكتشاف أن ما نسميه الضوء هو في الواقع مجرد جزء صغير من الطيف الكهرومغناطيسي ، بين 380 نانومتر و 740 نانومتر ؛ لذلك الضوء هو موجة كهرومغناطيسية. الأمر المثير للفضول بشأن هذا الجزء من الطيف هو أنه على وجه التحديد جزء الطيف الذي يمر بسهولة عبر الماء. خمين ما؟ أسلافنا القدامى من الحساء البدائي حيث يوجد بالفعل في الماء ، وفي الماء حيث بدأت الكائنات الحية الأولى والأكثر تعقيدًا في تطوير العيون. أقترح عليك مشاهدة الفيديو بواسطة Kurzgesagt الذي أرفقته لفهم ما هو الضوء بشكل أفضل.

لتلخيص LED ينبعث الضوء ، وهو كمية معينة من القدرة الإشعاعية (mW) عند طول موجي معين (نانومتر).

عادة ، عندما نتعامل مع الضوء المرئي ، فإننا لا نتحدث عن القدرة الإشعاعية (mW) ولكن عن التدفق الضوئي (lm) ، وهو وحدة قياس يتم وزنها عند الاستجابة للضوء المرئي لعيون البشر ، فهي تستمد من وحدة قياس الشموع ، وتقاس باللومن (lm). في هذا العرض التقديمي ، سننظر في اللومن المنبعث من مصابيح LED ولكن كل شيء سينطبق على ميغاواط تمامًا بنفس القدر.

في أي ورقة بيانات LED ، ستمنحك الشركة المصنعة هذه الأجزاء من المعلومات:

على سبيل المثال ، من ورقة البيانات هذه المرفقة ، ترى أنه إذا كنت تستخدم الطاقة على حد سواء بقيادة 100mA ، فلديك ما يلي:

اللون الأزرق عند 480 نانومتر وله 11 لومن من التدفق الضوئي ؛

الأخضر عند 530 نانومتر وله 35lm من التدفق الضوئي.

هذا يعني أن المنحنى الغاوسي للأزرق سيكون أطول ، وسوف يرتفع أكثر ، دون تعديل في عرضه وسوف يتأرجح حول الجزء المحدد بالخط الأزرق. سأشرح في هذه الورقة كيفية حساب ارتفاع Gaussian الذي يعبر عن طاقة الذروة الكاملة المنبعثة من LED ، وليس فقط الطاقة المنبعثة في هذا الجزء من الطيف ، وللأسف ستكون هذه القيمة أقل. علاوة على ذلك ، سأحاول تقريب الجزء المتداخل من مصباحي LED لفهم مقدار التدفق الضوئي المتداخل عندما نتعامل مع مصابيح LED التي هي "جيران" في الطيف.

يعد قياس تدفق مصابيح LED أمرًا معقدًا للغاية ، إذا كنت حريصًا على معرفة المزيد ، فقد قمت بتحميل ورقة مفصلة بواسطة Osram توضح كيفية إنجاز الأشياء.

الخطوة 2: مقدمة إلى القطع المكافئ

لن أخوض في الكثير من التفاصيل حول ما هو القطع المكافئ لأنه يدرس على نطاق واسع في المدرسة.

يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ بالشكل التالي:

ص = فأس ^ 2 + ب س + ج

أرخميدس يساعدنا

ما أود التأكيد عليه هو نظرية هندسية مهمة لأرخميدس. ما تقوله النظرية هو أن مساحة القطع المكافئ المحدودة في مستطيل تساوي 2/3 مساحة المستطيل. في الصورة الأولى مع القطع المكافئ ، يمكنك أن ترى أن المنطقة الزرقاء هي 2/3 والمساحات الوردية هي 1/3 من مساحة المستطيل.

يمكننا حساب القطع المكافئ ومعادلته بمعرفة ثلاث نقاط من القطع المكافئ. في حالتنا سنحسب الرأس ونعرف التقاطعات مع المحور x ، على سبيل المثال:

BLUE LED Vertex (480 ،؟) تساوي Y للرأس الطاقة المضيئة المنبعثة عند ذروة الطول الموجي. لحسابها ، سنستخدم العلاقة الموجودة بين منطقة Gaussian (التدفق الفعلي المنبعث من LED) وواحدة من القطع المكافئ وسنستخدم نظرية أرخميدس لمعرفة ارتفاع المستطيل الذي يحتوي على هذا القطع المكافئ.

x1 (447، 0)

x2 (513، 0)

نموذج parabolic

بالنظر إلى الصورة التي قمت بتحميلها ، يمكنك رؤية نموذج معقد لتمثيل العديد من تدفقات الإضاءة LED المختلفة باستخدام القطع المكافئة ، لكننا نعلم أن تمثيلها ليس تمامًا مثل هذا لأنه يشبه أكثر من Gaussian.

ومع ذلك ، مع القطوع المكافئة ، وباستخدام الصيغ الرياضية ، يمكننا إيجاد جميع نقاط التقاطعات للعديد من القطع المكافئة وحساب مناطق التقاطع.

في الخطوة 5 ، أرفقت جدول بيانات وضعت فيه جميع الصيغ لحساب جميع القطع المكافئ ومساحاتها المتقاطعة لمصابيح LED أحادية اللون.

عادةً ما تكون قاعدة Gaussian لمصباح LED كبيرة 66 نانومتر ، لذلك إذا عرفنا الطول الموجي السائد وقمنا بتقريب إشعاع LED مع القطع المكافئ ، فإننا نعلم أن القطع المكافئ النسبي سيتقاطع مع المحور x في λ + 33 و λ-33.

هذا نموذج يقارب إجمالي ضوء LED المنبعث مع القطع المكافئ. لكننا نعلم أنه إذا أردنا أن نكون دقيقين ، فهذا ليس صحيحًا تمامًا ، فسنحتاج إلى استخدام منحنيات Gauss ، وهو ما يقودنا إلى الخطوة التالية.

الخطوة الثالثة: مقدمة لمنحنى جاوس

غاوسي هو منحنى يبدو أكثر تعقيدًا من القطع المكافئ. اخترعه غاوس لتفسير الأخطاء. في الواقع ، هذا المنحنى مفيد جدًا لرؤية التوزيع الاحتمالي لظاهرة ما. بقدر ما نتحرك نحو اليسار أو اليمين من الوسط ، لدينا ظاهرة معينة أقل تكرارًا وكما ترى من الصورة الأخيرة ، فإن هذا المنحنى هو تقريب جيد جدًا لوقائع الحياة الحقيقية.

الصيغة Gaussian هي الصيغة المخيفة التي تراها كصورة ثانية.

خصائص Gaussian هي:

- إنه احترام متماثل للمتوسط ؛

- لا تتطابق x = μ مع الوسط الحسابي فحسب ، بل تتطابق أيضًا مع الوسيط والوضع ؛

- إنه مقارب عند المحور x من كل جانب ؛

- يتناقص لـ xμ ؛

- لها نقطتا انعطاف في x = μ-σ ؛

- المساحة الواقعة تحت المنحنى هي وحدة واحدة (وهو احتمال أن تتحقق أي x)

σ هو الانحراف المعياري ، فكلما زاد الرقم كلما اتسعت القاعدة الغاوسية (الصورة الأولى). إذا كانت القيمة في الجزء 3σ ، فسنعلم أنها تبتعد حقًا عن المتوسط وأن احتمالية حدوثها أقل.

في حالتنا ، مع مصابيح LED ، نعرف مساحة Gaussian وهي التدفق الضوئي المعطى في ورقة بيانات الشركة المصنعة عند ذروة طول موجي معينة (وهذا هو المتوسط).

الخطوة 4: مظاهرة مع Geogebra

في هذا القسم ، سوف أقوم بتقنية كيفية استخدام Geogebra لإثبات أن القطع المكافئ يساوي 2.19 مرة من Gaussian.

أولاً ، عليك إنشاء متغيرين ، بالنقر فوق أمر شريط التمرير:

الانحراف المعياري σ = 0.1 (يحدد الانحراف المعياري مدى اتساع منحنى غاوس ، لقد وضعت قيمة صغيرة لأنني أردت أن أجعله ضيقًا لمحاكاة توزيع طاقة طيفي LED)

المتوسط هو 0 لذلك تم بناء Gaussian على المحور y ، حيث يسهل العمل.

انقر فوق وظيفة الموجة الصغيرة لتنشيط قسم الوظيفة ؛ هناك بالنقر فوق fx ، يمكنك إدخال الصيغة Gaussian وسترى ظهور منحنى Gaussian طويل القامة على الشاشة.

من الناحية التخطيطية ، سترى أين يتقارب المنحنى على المحور x ، في حالتي في X1 (-0.4 ؛ 0) و X2 (+0.4 ؛ 0) وحيث يكون الرأس في V (0 ؛ 4).

بهذه النقطة الثلاث لديك معلومات كافية لإيجاد معادلة القطع المكافئ. إذا كنت لا تريد إجراء الحساب يدويًا ، فلا تتردد في استخدام موقع الويب هذا أو جدول البيانات في الخطوة التالية.

استخدم أمر الوظيفة (fx) لملء دالة القطع المكافئ التي وجدتها للتو:

ص = -25 س ^ 2 +4

الآن علينا أن نفهم عدد الغاوسيين في القطع المكافئ.

سيتعين عليك استخدام أمر الوظيفة وإدخال الأمر Integral (أو Integrale في حالتي ، حيث كنت أستخدم الإصدار الإيطالي). التكامل المحدد هو العملية الحسابية التي تسمح لنا بحساب مساحة دالة محددة بين قيم x. إذا كنت لا تتذكر ما هو التكامل المحدد ، فاقرأ هنا.

أ = متكامل (f، -0.4، +0.4)

ستحل صيغة Geogebra هذه التكامل المحدد بين -0.4 و +0.4 للدالة f ، Gaussian. نظرًا لأننا نتعامل مع Gaussian ، فإن مساحتها هي 1.

افعل نفس الشيء للقطع المكافئ وستكتشف الرقم السحري 2.13. وهو الرقم الأساسي للقيام بجميع تحويلات التدفق الضوئي باستخدام مصابيح LED.

الخطوة 5: مثال حقيقي مع مصابيح LED: حساب ذروة التدفق والتدفقات المتداخلة

تدفق مضيء عند الذروة

من السهل جدًا حساب الارتفاع الفعلي لمنحنيات Gaussian المقلبة لتوزيع تدفق LED ، والآن بعد أن اكتشفنا عامل التحويل 2.19.

على سبيل المثال:

يحتوي BLUE LED على 11lm من التدفق الضوئي

- نقوم بتحويل هذا التدفق من Gaussian إلى Parabolic 11 x 2.19 = 24.09

- نستخدم نظرية أرخميدس لحساب مساحة المستطيل النسبية التي تحتوي على القطع المكافئ 24.09 × 3/2 = 36.14

- نجد ارتفاع تقسيم هذا المستطيل لقاعدة Gaussian لـ BLUE LED ، المعطى في ورقة البيانات أو الظاهر على مخطط ورقة البيانات ، عادةً حوالي 66 نانومتر ، وهذه هي قوتنا في ذروة 480 نانومتر: 36.14 / 66 = 0.55

تجاوز مناطق التدفق المضيء

لحساب إشعاعين متداخلين ، سأشرح بمثال بمصباحي LED التاليين:

اللون الأزرق عند 480 نانومتر وله 11 لومن من التدفق الضوئي

نعلم ونرى من الرسم البياني أن كلا المنحنيين الغاوسيين يتقاربان في -33 نانومتر و + 33 نانومتر ، وبالتالي فإننا نعرف أن:

- يتقاطع BLUE مع المحور x في 447 نانومتر و 531 نانومتر

- يتقاطع GREEN مع المحور x في 497nm و 563nm

نرى بوضوح أن المنحنيين يتقاطعان لأن أحد طرفي الأول يكون بعد بداية الآخر (531 نانومتر> 497 نانومتر) لذلك يتداخل ضوء هذين المصباحين في بعض النقاط.

علينا أولاً حساب معادلة القطع المكافئ لكليهما. يوجد جدول البيانات المرفق لمساعدتك في العمليات الحسابية ، وقد تم تضمين الصيغ لحل نظام المعادلات لتحديد القطعتين المكافئتين مع معرفة النقاط المتقاطعة للمحور x والرأس:

القطع المكافئ الأزرق: y = -0.0004889636025x ^ 2 + 0.4694050584x -112.1247327

القطع المكافئ الأخضر: y = -0.001555793281x ^ 2 + 1.680256743x - 451.9750618

في كلتا الحالتين a> 0 ، وبالتالي فإن القطع المكافئ يشير بشكل صحيح رأسًا على عقب.

لإثبات أن هذا القطع المكافئ صحيح ، ما عليك سوى ملء a و b و c في حاسبة الرأس في موقع الويب الخاص بآلة حاسبة القطع المكافئ.

في جدول البيانات ، تم إجراء جميع حسابات التفاضل والتكامل بالفعل لإيجاد نقاط التقاطع بين القطوع المكافئة ولحساب التكامل المحدد للحصول على المناطق المتقاطعة لتلك القطع المكافئة.

في حالتنا ، فإن المناطق المتقاطعة لأطياف LED الزرقاء والخضراء هي 0.4247.

بمجرد أن نحصل على القطع المكافئ المتقاطع ، يمكننا مضاعفة هذه المنطقة المتقاطعة المنشأة حديثًا لمضاعف غاوس 0.4694 وإيجاد تقريب قريب جدًا لمقدار الطاقة التي تنبعثها مصابيح LED معًا في هذا القسم من الطيف. للعثور على تدفق LED الفردي المنبعث في هذا القسم ، ما عليك سوى القسمة على 2.

الخطوة 6: اكتملت الآن دراسة المصابيح أحادية اللون للمصباح التجريبي

حسنًا ، شكرًا جزيلاً لك على قراءة هذا البحث. آمل أن يكون من المفيد لك أن تفهم بعمق كيف ينبعث الضوء من المصباح.

كنت أدرس تدفقات مصابيح LED الخاصة بمصباح خاص مصنوع من ثلاثة أنواع من مصابيح LED أحادية اللون.

"المكونات" لصنع هذا المصباح هي:

- 3 LED BLU

- 4 LED أخضر

- 3 ليد أحمر

- 3 مقاومات للحد من التيار في فروع دارة LED

- مصدر طاقة 12 فولت 35 واط

- غطاء أكريليك منقوش

- تحكم OSRAM OT BLE DIM (وحدة تحكم Bluetooth LED)

- خافض حرارة ألومنيوم

- M5 جريئة وصواميل و L بين قوسين

تحكم في كل شيء باستخدام تطبيق Casambi من هاتفك الذكي ، يمكنك تشغيل وتعتيم كل قناة LED بشكل منفصل.

بناء المصباح بسيط للغاية:

- إرفاق LED بالمبدد الحراري بشريط على الوجهين ؛

- قم بتلحيم جميع مصابيح BLU LED المتسلسلة بمقاوم ، وفعل الشيء نفسه مع اللون الآخر لكل فرع من فروع الدائرة. وفقًا لمصابيح LED التي ستختارها (استخدمت Lumileds LED) ، سيتعين عليك اختيار حجم المقاوم فيما يتعلق بكمية التيار الذي ستغذيه في LED والجهد الإجمالي الذي يوفره مصدر الطاقة 12 فولت. إذا كنت لا تعرف كيفية القيام بذلك ، أقترح عليك قراءة هذه التعليمات الرائعة حول كيفية تحديد حجم المقاوم للحد من تيار سلسلة من مصابيح LED.

- قم بتوصيل الأسلاك بكل قناة من قنوات Osram OT BLE: تنتقل كل الإيجابيات الرئيسية لفروع مصابيح LED إلى المشترك (+) وتنتقل السلبيات الثلاثة للفروع على التوالي إلى -B (أزرق) -G (أخضر) -R (أحمر).

- قم بتوصيل مصدر الطاقة بمدخل Osram OT BLE.

الآن ما هو رائع في Osram OT BLE هو أنه يمكنك إنشاء سيناريوهات وبرمجة قنوات LED ، كما ترون في الجزء الأول من الفيديو أقوم بتعتيم القنوات الثلاث وفي الجزء الثاني من الفيديو أستخدم بعض سيناريوهات ضوء مسبقة الصنع.

الاستنتاجات

لقد استخدمت الرياضيات على نطاق واسع لفهم كيفية انتشار تدفقات هذه المصابيح بعمق.

آمل حقًا أن تكون قد تعلمت شيئًا مفيدًا اليوم وسأبذل قصارى جهدي لتقديم المزيد من الحالات القابلة للتوجيه من البحث التطبيقي العميق مثل هذا.

البحث هو المفتاح!

سنشتاق إليك!

بيترو